Theorems · Theorem · nonassociative algebras

RootPairing.smul_coroot_eq_of_root_add_root_eq

∀ {ι : Type u_1} {R : Type u_2} {M : Type u_3} {N : Type u_4} [inst : Fintype ι] [inst_1 : AddCommGroup M]
  [inst_2 : AddCommGroup N] [inst_3 : CommRing R] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R N] (P : RootPairing ι R M N)
  [P.IsAnisotropic] [IsDomain R] [Module.IsTorsionFree R N] {i j k : ι} {m n : R},
  m • P.root i + n • P.root j = P.root k →
    (m * m * P.pairing i j + m * n * (P.pairing i j * P.pairing j i) + n * n * P.pairing j i) • P.coroot k =
      m • P.pairing i j • P.coroot i + n • P.pairing j i • P.coroot j

Defined in

Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Cited by

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Foundations

Depth 63 from the axioms · uses propext, Classical.choice, Quot.sound

Assumes

FintypeAddCommGroupAddCommGroupCommRingModuleModuleRootPairing.IsAnisotropicIsDomainModule.IsTorsionFree