Theorems · Theorem · linear algebra

Submodule.Quotient.equiv_trans

∀ {R : Type u_1} [inst : Ring R] {R₂ : Type u_5} [inst_1 : Ring R₂] {σ₁₂ : R →+* R₂} {σ₂₁ : R₂ →+* R}
  [inst_2 : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁] [inst_3 : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂] {M : Type u_6} {N : Type u_7}
  [inst_4 : AddCommGroup M] [inst_5 : Module R M] [inst_6 : AddCommGroup N] [inst_7 : Module R₂ N] (P : Submodule R M)
  (Q : Submodule R₂ N) {R₃ : Type u_8} {O : Type u_9} [inst_8 : Ring R₃] [inst_9 : AddCommGroup O]
  [inst_10 : Module R₃ O] {σ₂₃ : R₂ →+* R₃} {σ₃₂ : R₃ →+* R₂} {σ₁₃ : R →+* R₃} {σ₃₁ : R₃ →+* R}
  [inst_11 : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂] [inst_12 : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃] [inst_13 : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁]
  [inst_14 : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃] [inst_15 : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃] [inst_16 : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁]
  (S : Submodule R₃ O) (e : M ≃ₛₗ[σ₁₂] N) (f : N ≃ₛₗ[σ₂₃] O) (he : Submodule.map (↑e) P = Q)
  (hf : Submodule.map (↑f) Q = S) (hef : Submodule.map (↑(e.trans f)) P = S),
  Submodule.Quotient.equiv P S (e.trans f) hef =
    (Submodule.Quotient.equiv P Q e he).trans (Submodule.Quotient.equiv Q S f hf)

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Mathlib.LinearAlgebra.Quotient.Basic

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Foundations

Depth 91 from the axioms · uses propext, Classical.choice, Quot.sound

Assumes

RingRingRingHomInvPairRingHomInvPairAddCommGroupModuleAddCommGroupModuleRingAddCommGroupModuleRingHomInvPairRingHomInvPairRingHomInvPairRingHomInvPairRingHomCompTripleRingHomCompTriple